Dénombrements en algèbre linéaire.
Le dénombrement d’objets standards associés à des espaces vectoriels sur un corps fini de cardinal q permet de mettre en œuvre les grands théorèmes et apporte des applications inattendues :
Nombre de bases, cardinal du groupe linéaire (et avatars).
Nombre de sous-espaces de dimension donnée. Formule du binôme quantique. Application : formule du triple produit de Jacobi.
Nombre de points sur certaines quadriques. Application : loi de réciprocité quadratique.
Nombre de matrices nilpotentes.
Séries génératrices.
Anneau des séries formelles. Séries génératrices ordinaire et exponentielle associées à une suite d’entiers.
Exemples (surtout en TD) : nombres de Fibonacci ; nombres de Catalan ; nombre de dérangements, d’involutions ; statistique du nombre d’inversions ;
partitions, partitions en parts distinctes et partitions en parts impaires.
Formules du triple produit de Jacobi. Applications : théorème des nombres pentagonaux d’Euler, théorème des deux carrés...
