Université Lyon 1
Université de Lyon
Arqus
  • Domaine : Licences du domaine SCIENCES, TECHNOLOGIES, SANTE
  • Diplôme : Licence
  • Mention : Mathématiques
  • Parcours : Double licence Mathématiques-Physique
  • Unité d'enseignement : Groupes
Nombre de crédits de l'UE : 6
Code APOGEE : MAT3153L
UE Libre pour ce parcours
UE valable pour le semestre 1 de ce parcours
    Responsabilité de l'UE :
BEN YAACOV ITAI
 begnacmath.univ-lyon1.fr
32.78.7
    Type d'enseignement
Nb heures *
Cours Magistraux (CM)
24 h
Travaux Dirigés (TD)
36 h
Travaux Pratiques (TP)
0 h
Durée de projet en autonomie (PRJ)
0 h
Durée du stage
0 h
Effectif Cours magistraux (CM)
210 étudiants
Effectif Travaux dirigés (TD)
35 étudiants
Effectif Travaux pratiques (TP)
18 étudiants

* Ces horaires sont donnés à titre indicatif.

    Compétences attestées (transversales, spécifiques) :
Non rédigé
    Programme de l'UE / Thématiques abordées :
  • Groupes. Sous-groupes. Centralisateur. Centre. Normalisateur.  

  • Classes modulo un sous-groupe. 

  • Ordre d’un sous-groupe et d’un élément. Indice d’un sous-groupe.

  • Théorème de Lagrange (et réciproque fausse). Application au petit théorème de Fermat. 

  • Morphismes. Image. Noyau. Isomorphismes.   

  • Sous-groupe distingué. Groupe quotient. Théorème de factorisation.

  • Groupes engendrés. 

  • Parties génératrices de GL_n : dilatations, transvections.  

  • Parties génératrices de O_n : réflexions orthogonales. 

  • Groupes monogènes et cycliques : isomorphes à Z ou Z/nZ, sous-groupes.  

  • Groupe symétrique. Cycles. Décomposition en produits de cycles. Le groupe symétrique est engendré par les transpositions. Signature. Groupe alterné.  Le groupe alterné est simple (TD). 

  • Produits direct et semi-direct (interne). Théorème des restes chinois.

  • Actions de groupes. Théorème de Cayley. Théorème de Cauchy. 

  • Orbites. Stabilisateurs. Equation aux classes. Formule de Burnside. Applications :  problème du collier, sous-groupes finis de SO₃.  

  • p-Groupes. Théorèmes de Sylow. Applications : étude des groupes d’ordre 12, pq, etc. 

  • Exemples/Applications : Z/nZ, groupe des racines de l'unité, groupe symétrique, groupes diédraux, GL_n et ses sous-groupes, sous-groupes finis de SO_3, solides platoniciens, action de GL_n sur les sous-espaces vectoriels.  `

    Liste des autres Parcours / Spécialité / Filière / Option utilisant cette UE :
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