Les notions seront présentées dans un esprit pratique sans grand développement théorique.
1- Développements limités. Relations de comparaison. Développements asymptotiques (équivalents, négligeabilité, notations « o », « O » de Landau).
2- Suites et séries de fonctions. Convergences simple et uniforme. Remarques sur les problèmes de convergence, sur l’intégration et la dérivation des séries.
3- Séries de Fourier. Exemples des signaux « carré » et « dent de scie ». Analogie avec le développement suivant une base en algèbre linéaire. Formules de Bessel-Parseval et théorème de Dirichlet (sans preuve).
4- Notions d’équation aux dérivées partielles. Présentation de l’équation de la corde vibrante avec conditions initiales, aperçu sur d’autres équations linéaires périodiques ou avec conditions de bord (équations de Laplace, Poisson, chaleur, transport). Formule de d'Alembert sur la droite ou la demi-droite réelle.
5- Intégrales généralisées (surtout absolument convergentes, critère de Riemann, convergence par intégration par parties : exemple de l'intégrale de Fresnel). Mesures (masse de Dirac).
6- Théorème de dérivation des intégrales à paramètre avec condition de domination (sans preuve). Application de l'interversion dérivée/intégrale à des exemples de transformée de Fourier ou de Laplace.
7- Transformée de Laplace. Transformées usuelles. Inversion de la transformée de Laplace pour les fractions rationnelles, application à la résolution d'équations différentielles ordinaires avec conditions initiales.
8- Convolution, exemples de régularisation par convolution. Transformée de Fourier de fonctions L1 ou L2. Transformées usuelles. Inversion de Fourier. Formule de Plancherel.
9- Application à la résolution d'équations aux dérivées partielles sur tout R : chaleur (détaillé), ondes, Schrödinger. Inégalités d’incertitude.
