S’appuyant sur une grande séparation des échelles (en espace et en temps) et sur une hypothèse d’équilibre thermodynamique locale (pour définir des grandeurs intensives locales comme la température, la pression ou l’énergie interne), la Physique des Milieux Continus vise à établir les lois de comportement entre les quantités physiques en considérant des quantités moyennes (densité, champs de concentration,…). Les modèles continus qui en résultent se fondent sur des lois de conservation exactes et des relations phénoménologiques souvent issues de la théorie de la réponse linéaire.
Ce cours se compose de trois parties, dont le formalisme commun est sous-tendu par l’approche évoquée ci-dessus : (i) les processus diffusifs, mécanismes de transport très importants dans la nature, (ii) l’hydrodynamique physique où l’on cherche à décrire la dynamique d’un fluide sous contrainte, qui contrairement à un solide, va s’écouler pour relâcher la contrainte, (iii) le comportement élastique des solides.
1. Introduction
2. Processus diffusifs
Équation de conservation de la diffusion, diffusion thermique (lois de Fourier), diffusion de particules (loi de Fick), relaxation pour une distribution initiale de sources ponctuelles, mouvement brownien, équation de Langevin, théorème de fluctuation-dissipation, formule d’Einstein, diffusion dans un champ externe.
3. Hydrodynamique physique
Propriétés cinématiques, dérivée convective, tenseur taux de déformation, équations de conservation (masse, quantité de mouvement, énergie). Tenseur des contraintes, régime newtonien et équation de Navier-Stokes. Notion de conditions aux limites. Cas particuliers des fluides parfaits (équation de Bernouilli), des écoulements potentiels (exemple du paradoxe de d’Alembert), des écoulements à petit nombre de Reynolds (exemple du problème de Stokes). Approximation de lubrification, hydrodynamique du mouillage.
4. Élasticité linéaire
Cette partie met à profit tout le formalisme introduit et développé pour l’hydrodynamique au chapitre 3.
Notion de déformations élémentaires, théorie générale de l’élasticité linéaire (introduction des tenseurs des contraintes et des déformations, loi de Hooke), cas des matériaux isotropes, équation d’équilibre (de Navier). Quelques applications de la théorie de l’élasticité dans le cas linéaire, homogène et isotrope (force ponctuelle, contact de Hertz,…).
