Objectifs : L'objectif du cours est de présenter diverses théories physiques actuellement utilisées de manière relativement universelle dans les différentes branches de la mécanique : mécanique des fluides, matériaux, systèmes dynamiques. Sans viser une présentation complète de chaque domaine, le cours s'attachera, en partant d'exemples représentatifs, à sensibiliser les élèves à ces approches unitaires ainsi qu'à introduire leur vocabulaire et leurs principaux concepts.
Sommaire :
A. Echelles microscopiques et changements d'échelles
Diversité des échelles microscopiques d'espace et de temps.
Echelle microscopique continue : homogénéisation, bornes.
Echelle microscopique discrète : dynamique moléculaire, contraintes macroscopiques.
B. Modèles stochastiques
Marches aléatoires. Mouvement brownien.
Application aux phénomènes diffusifs. Equations de Focker-Planck.
Application aux polymères : rayon de giration.
C. Phénomènes critiques
Percolation : l'exemple de la conduction. Seuil de percolation et exposants caractéristiques. Applications : agrégation, milieux poreux, gels, polymérisation.
Phénomènes critiques : transition du premier et second ordre. Diagramme de phases. Transition ordre-désordre.
D. Fractales et chaos
Géométrie fractale. Fractales déterministes et fractales aléatoires. Dimension fractale : définitions et mesure. Applications : turbulence et rugosité.
Chaos déterministe : systèmes dynamiques : comportement asymptotique. Attracteur et bassins d'attractions. Régimes réguliers et chaotiques. Sections de Poincaré, exposants de Liapounoff. Exemples : mélange, systèmes mécaniques.
