Université Lyon 1
Université de Lyon
Arqus
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  • Domaine : Masters du domaine SCIENCES, TECHNOLOGIES, SANTE
  • Diplôme : Master
  • Mention : Mathématiques et applications
  • Parcours : M2 Mathématiques avancées
  • Unité d'enseignement : Anneaux, corps et représentations
Nombre de crédits de l'UE : 6
Code APOGEE : MAT1360M
UE Libre pour ce parcours
UE valable pour le semestre 1 de ce parcours
    Responsabilité de l'UE :
ZAMBONI LUCA
 luca.zamboniuniv-lyon1.fr
31.00.7
    Type d'enseignement
Nb heures *
Cours Magistraux (CM)
24 h
Travaux Dirigés (TD)
36 h
Travaux Pratiques (TP)
0 h
Durée de projet en autonomie de l'étudiant (PRJ)
0 h
Durée du stage
0 h
Effectifs Cours magistraux (CM)
210 étudiants
Travaux dirigés (TD)
35 étudiants
Travaux pratiques (TP)
18 étudiants

* Ces horaires sont donnés à titre indicatif.

    Compétences attestées (transversales, spécifiques) :
Non rédigé
    Programme de l'UE / Thématiques abordées :
Anneaux factoriels et anneaux de polynômes.
Anneaux factoriels. PGCD, PPCM, lemme de Gauss. 
Anneaux principaux.
A factoriel => A[X] factoriel (et donc A[X1,...,Xn] factoriel). Anneaux de polynômes en plusieurs variables. Polynômes symétriques.  
Résultant. Deux applications : théorème de Bézout faible et anneau des entiers algébriques. 

Corps.
Rappels sur les extensions de corps. Eléments algébriques et transcendants. Polynôme minimal. Extensions algébriques. Degré. Extensions finies. Corps de rupture.
Corps de décomposition. Classification des corps finis (construction vue en L3).
Corps algébriquement clos. Clôture algébrique.
Caractéristique. Morphisme de Frobenius.
Algorithme de Berlekamp (en TD).

Représentations des groupes finis.
Caractères des groupes abéliens finis.
Caractères des groupes cycliques.
Relations d’orthogonalité.
Théorème de prolongement des caractères ; application à la structure des groupes abéliens finis.
Groupe dual et bidual, transformation de Fourier et convolution.
Représentations linéaires d'un groupe fini.
Définition, morphisme et isomorphisme de représentations, sous-représentation, représentation irréductible ; exemples (groupe symétrique, représentations régulières, groupes de petit ordre...).
Construction de nouvelles représentations : somme directe, quotient par une sous-représentation, représentation duale, espace des applications linéaires entre deux représentations.
Théorème de Maschke, décomposition d'une représentation comme somme de représentations irréductibles.
Lemme de Schur, le cas des groupes abéliens fini (représentation irréductibles de dimension 1). 
Caractère d'une représentation. Fonctions centrales, opérations sur les caractères. Relations d’orthogonalité.
Caractérisation d’une représentation par son caractère. Décomposition de la représentation régulière. Table de caractères.

    Liste des autres Parcours / Spécialité / Filière / Option utilisant cette UE :
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