Rappels et compléments de topologie des espaces vectoriels normés.
Espaces de Banach.
Espace dual. Exemples d'espaces duaux.
Séparabilité.
Espaces de fonctions continues. Théorème d'approximation de Weierstrass. Théorème d'Ascoli.
Espaces de Hilbert.
Généralités, théorème de projection sur un convexe fermé, théorème de représentation de Riez, adjoint, bases hilbertiennes.
Théorème de Lax-Milgram
Analyse de Fourier, éléments de distributions.
Quelques rappels sur la convolution. Résultats de régularisation.
Transformation de Fourier sur les espaces L^1(R^d) et L^2(R^d). Espace de Schwartz S(R^d).
Distributions tempérées. Transformée de Fourier dans S'.
Quelques éléments sur les distributions. Exemples : fonctions dans L^1_{loc}, Dirac, valeur principale. Opérations. Formule des sauts. Suites de distributions.
Définition de H^1(0,1) et H^1_0(0,1).
Applications à l'étude de quelques EDP.
Notion de solution élémentaire d'opérateurs différentiels à coefficients constants.
Notion de solution faible d'EDP.
Résolution de quelques EDP au sens classique et au sens faible : équations de Laplace, de la chaleur...
