Anneaux factoriels et anneaux de polynômes.
Anneaux factoriels. PGCD, PPCM, lemme de Gauss.
Anneaux principaux.
A factoriel => A[X] factoriel (et donc A[X1,...,Xn] factoriel). Anneaux de polynômes en plusieurs variables. Polynômes symétriques.
Résultant. Deux applications : théorème de Bézout faible et anneau des entiers algébriques.
Corps.
Rappels sur les extensions de corps. Eléments algébriques et transcendants. Polynôme minimal. Extensions algébriques. Degré. Extensions finies. Corps de rupture.
Corps de décomposition. Classification des corps finis (construction vue en L3).
Corps algébriquement clos. Clôture algébrique.
Caractéristique. Morphisme de Frobenius.
Algorithme de Berlekamp (en TD).
Représentations des groupes finis.
Caractères des groupes abéliens finis.
Caractères des groupes cycliques.
Relations d’orthogonalité.
Théorème de prolongement des caractères ; application à la structure des groupes abéliens finis.
Groupe dual et bidual, transformation de Fourier et convolution.
Représentations linéaires d'un groupe fini.
Définition, morphisme et isomorphisme de représentations, sous-représentation, représentation irréductible ; exemples (groupe symétrique, représentations régulières, groupes de petit ordre...).
Construction de nouvelles représentations : somme directe, quotient par une sous-représentation, représentation duale, espace des applications linéaires entre deux représentations.
Théorème de Maschke, décomposition d'une représentation comme somme de représentations irréductibles.
Lemme de Schur, le cas des groupes abéliens fini (représentation irréductibles de dimension 1).
Caractère d'une représentation. Fonctions centrales, opérations sur les caractères. Relations d’orthogonalité.
Caractérisation d’une représentation par son caractère. Décomposition de la représentation régulière. Table de caractères.
