Compléments sur les espaces de Banach.
Lemme de Baire et applications : théorèmes de Banach-Steinhaus, de l'application ouverte, du graphe fermé.
Dual, bidual.
Théorèmes de Hahn-Banach et applications.
Théorème de prolongement de Hahn-Banach. Ensemble convexes.
Théorème de séparation de Hahn-Banach. Applications : norme de la transposée d'une application linéaire continue, séparation des points, caractérisation de la densité par l'orthogonal. Dualité des espaces L^p.
Convergences faibles et topologies faibles.
Définitions et généralités. Compacité pour la topologie pré-faible (Banach-Alaoglu), applications, exemples.
Espaces de Banach réflexifs.
Introduction aux opérateurs compacts et à la théorie spectrale des opérateurs bornés sur un Hilbert.
