Deux objectifs : familiariser les étudiants avec le calcul matriciel sur un anneau euclidien et approfondir l’étude des endomorphismes d’un espace vectoriel. La notion de module sur un anneau euclidien, qui unifie naturellement ces deux thèmes, pourra être illustrée sous forme d’exercices, sans toutefois faire l’objet d’une présentation systématique.
Matrices à coefficients dans un anneau euclidien.
Inversibilité. Échelonnement par opérations élémentaires, forme normale de Smith.
Applications (en TD) : exemples de résolution des systèmes linéaires diophantiens, engendrement de GL_n(A) et SL_n(A).
Théorème de structure des groupes abéliens de type fini.
Réduction des endomorphismes (sur un corps K).
Algèbre des polynômes en un endomorphisme, réduction de Dunford-Jordan : points de vue géométrique (lemme des noyaux) et algorithmique (méthode de Newton).
Endomorphisme nilpotents : noyaux emboîtés, injections de Frobenius, théorème de Jordan.
Endomorphismes cycliques. Réduction de Frobenius (invariants de similitudes) : point de vue géométrique. Le calcul effectif des invariants de similitude, via le calcul matriciel sur K[X], sera illustré en TD.
Les théorèmes d’algèbre linéaire et bilinéaire sous le prisme des groupes.
Reformulation des théorèmes de structure comme classification des orbites pour une action sur les matrices (certains exemples seront évoqués uniquement en TD) :
action de GL(n) sur K^n et base incomplète ;
action de GL(m) \times GL(n) sur M_{m,n}, pivot de Gauss et théorème du rang ;
action de GL(m) sur M_{m,n} par produit et pivot de Gauss ; le noyau comme invariant total ;
action de GL(n) sur M_{m,n} par produit, image (en TD) ;
action de GL(n) sur M_{n} par conjugaison et réduction des endomorphismes ;
action de GL(n) sur S_n par congruence et classifications des formes quadratiques (rang sur C, signature sur R et théorème de Sylvester, rang + discriminant sur K fini) ;
action de O(n) sur S_n(R) et théorème spectral ; version hermitienne ;
action de O(n) sur GL(n) par produit à droite et décomposition polaire ;
action de O(m) \times O(n) sur M_{m,n} et décomposition en valeurs singulières (en TD).
Applications de la topologie en algèbre linéaire.
Raisonnement par densité : théorème de Cayley-Hamilton ; polynôme caractéristique d’un produit.
Caractérisation des classes de similitudes de matrices diagonalisables (semi-simples) par leur fermeture.
Compléments sur l’exponentielle de matrices. Applications : lien entre matrices nilpotentes et unipotentes, entre matrices symétriques et symétriques définies positives (en TD).
Racine carrée d’une matrice symétrique positive. Décomposition polaire. Applications : ellipsoïde de John-Loewner ; maximalité du groupe orthogonal parmi les sous-groupes compacts du groupe linéaire (en TD).
Composantes connexes des groupes linéaires complexes et réels (et avatars), des groupes orthogonaux et unitaires : par le pivot de Gauss ou la réduction, par la décomposition polaire.
