* Ces horaires sont donnés à titre indicatif.
Quelques rappels sur R.
I. Espaces métriques
Distance, boules ; suites : convergence, limite, valeurs d'adhérence ; distance produit.
Espaces vectoriels normés : définitions ; exemples : normes sur R^n (normes p), normes sur des espaces de suites, normes sur des espaces de fonctions.
Topologie des espaces métriques : ouverts, topologie ; fermés ; intérieur, adhérence ; bases d'ouverts, espaces séparables : topologie induite.
Applications continues : définition métrique, caractérisation topologique, caractérisation séquentielle ; limite d'une fonction en un point ; continuité uniforme, applications lipschitziennes (module de continuité) ; homéomorphismes ; suites d'applications : convergence simple, convergence uniforme ; continuité et espaces produits.
Continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés (normes subordonnées).
II. Espaces métriques compacts
Propriété de Borel-Lebesgue (recouvrement par des ouverts) et propriété de Bolzano-Weierstrass.
Propriétés des parties compactes.
Pré-compacts.
Les compacts de R.
Produit fini d'espaces métriques compacts.
Fonctions continues sur un compact (image d'un compact par une application continue, continuité uniforme).
Application aux espaces vectoriels normés de dimension finie (équivalence des normes, continuité des applications linéaires, théorème de Riesz).
Produit dénombrable d'espaces métriques compacts.
III. Espaces métriques connexes
Définitions et propriétés.
Exemple fondamental : les connexes de R, théorème des valeurs intermédiaires.
Fonctions continues et connexité.
Composantes connexes ; structure des ouverts de R.
Connexité par arcs.
IV. Espaces métriques complets
Suites de Cauchy, espaces complets.
Exemple des espaces vectoriels normés de dimension finie.
Séries dans un espace vectoriel normé complet.
Théorème du point fixe pour les applications contractantes.
Théorème de prolongement des applications uniformément continues.
Exemples d'espaces complets, espaces de Banach : espaces de fonctions (continues bornées, linéaires continues), espaces de suites ; applications (Id+u inversible...).
Complément : complété d'un espace métrique.
Complément : théorème d'Ascoli.