- Unité d'enseignement : Groupes
Nombre de crédits de l'UE : 6
Code APOGEE : MAT3153L
Type d'enseignement
Nb heures *
Cours Magistraux (CM)
24 h
Travaux Dirigés (TD)
36 h
* Ces horaires sont donnés à titre indicatif.
Compétences attestées (transversales, spécifiques) :
Non rédigé
Programme de l'UE / Thématiques abordées :
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Groupes. Sous-groupes. Centralisateur. Centre. Normalisateur.
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Classes modulo un sous-groupe.
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Ordre d’un sous-groupe et d’un élément. Indice d’un sous-groupe.
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Théorème de Lagrange (et réciproque fausse). Application au petit théorème de Fermat.
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Morphismes. Image. Noyau. Isomorphismes.
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Sous-groupe distingué. Groupe quotient. Théorème de factorisation.
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Groupes engendrés.
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Parties génératrices de GL_n : dilatations, transvections.
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Parties génératrices de O_n : réflexions orthogonales.
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Groupes monogènes et cycliques : isomorphes à Z ou Z/nZ, sous-groupes.
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Groupe symétrique. Cycles. Décomposition en produits de cycles. Le groupe symétrique est engendré par les transpositions. Signature. Groupe alterné. Le groupe alterné est simple (TD).
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Produits direct et semi-direct (interne). Théorème des restes chinois.
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Actions de groupes. Théorème de Cayley. Théorème de Cauchy.
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Orbites. Stabilisateurs. Equation aux classes. Formule de Burnside. Applications : problème du collier, sous-groupes finis de SO₃.
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p-Groupes. Théorèmes de Sylow. Applications : étude des groupes d’ordre 12, pq, etc.
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Exemples/Applications : Z/nZ, groupe des racines de l'unité, groupe symétrique, groupes diédraux, GL_n et ses sous-groupes, sous-groupes finis de SO_3, solides platoniciens, action de GL_n sur les sous-espaces vectoriels. `
Parcours / Spécialité / Filière / Option utilisant cette UE :
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