I Dénombrabilité et familles sommables.
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Ensembles dénombrable et au plus dénombrable : définitions et propriétés de base ( stabilité par union dénombrable et produit finis)
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Exemples d’ensembles non-dénombrables.
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Définition des familles sommables. Relation de la sommabilité à la convergence d'une série et invariance par permutation.
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Théorème de Sommation par paquet
II. Espaces métriques
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Distance, boules, distance produit; suites : convergence, limite, valeurs d'adhérence.
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Espaces vectoriels normés : définitions ; exemples : normes sur R^n (normes p), normes sur des espaces de suites, normes sur des espaces de fonctions.
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Topologie des espaces métriques : ouverts, topologie ; fermés ; intérieur, adhérence, espaces séparables : topologie induite.
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Applications continues : définition métrique, caractérisation topologique, caractérisation séquentielle, continuité uniforme, applications lipschitziennes .
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Continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés (normes subordonnées).
III. Espaces métriques complets
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Suites de Cauchy.
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Espaces complets. Séries dans un espace vectoriel normé complet.
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Applications de la complétude : Théorème du point fixe pour les applications contractantes. Théorème de prolongement des applications uniformément continues.
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Exemples d'espaces complets, espaces de Banach : espaces de fonctions (continues bornées, linéaires continues). Complétude d’un e.v.n de dimension finie et applications (équivalence des normes, continuité des applications linéaires)
IV. Espaces métriques compacts
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Propriété de Bolzano-Weierstrass. (Propriété de Borel-Lebesgue facultative)
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Propriétés des parties compactes. Produit fini d'espaces métriques compacts.
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Les compacts d’un e.v.n. de dimension finie.
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Fonctions continues sur un compact (image d'un compact par une application continue, continuité uniforme).
V. Convexité
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Convexité dans un espace vectoriel. Le cas de l’espace euclidien R^n..
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Propriétés des fonctions numériques convexes définies sur un intervalle de R. Caractérisation différentielle des fonctions convexes sur R^n.
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Optimisation sur R^n. : théorème de minimisation d’une fonction convexe sous contrainte convexe avec CNS du premier ordre.
VI Intégration
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Rappels sur les intégrales généralisées (intégrales de Riemann) : étude de la convergence des intégrales de fonctions positives, intégrales de référence, critères de comparaison. Compétence visée : savoir étudier l'intégrabilité de fonctions données explicitement.
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Notion de limsup et liminf.
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Tribus, tribus engendrées, tribu borélienne, Fonctions mesurables. Lemme de classe monotone (preuves admises)
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Mesures, exemples : mesure de comptage, mesure de Dirac, mesure de Lebesgue (construction admise).
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Définition de l’intégrale et propriétés générales (preuves admises)
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Théorèmes de convergence : théorème de convergence monotone ; lemme de Fatou ; théorème de convergence dominée.
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Lien avec l’intégrale de Riemann et les familles sommables.
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Intégrales à paramètre : continuité, dérivabilité.
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Mesure produit, théorème de Fubini. (admis)
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Inégalité de Jensen
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Changement de variables (admis).
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Introductions aux espaces L^p : inégalités de Hölder et Minkowski. Complétude.
VII Espaces de Hilbert.
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Rappels : Inégalité de Cauchy-Schwartz, identité du parallélogramme,
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Théorème de la projection sur un ensemble convexe fermé.
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Théorème de représentation de Riesz
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Théorème des bases hilbertiennes. (Exemples : séries de Fourier et polynômes d’Hermite)
