- Rappels sur le calcul différentiel dans R^n. Le théorème de Gauss et la formule de Green. Théorie hilbertienne, théorème de Riesz. Théorème de Lax-Milgram.
- Distributions : définitions, premières propriétés, exemples classiques. Transformée de Fourier dans L1 puis dans L2. Applications.
- Espaces de Sobolev ; théorèmes de prolongement, de densité et de trace ; compacité ; inégalité de Poincaré).
- Théorie variationnelle elliptique : application du théorème de Lax-Milgram aux problèmes elliptiques du second ordre. Exemples.
- Équation de la chaleur sur [0,1] (résolution par les séries de Fourier). Équation de la chaleur dans R^n (résolution par la transformée de Fourier). Propriétés qualitatives des solutions.
- Introduction aux lois de conservations scalaires 1D : exemples (transport linéaire, Burgers, Trafic routier). Solutions fortes : méthode des caractéristiques. Solutions faibles, chocs (condition de Rankine-Hugoniot) et détentes. Condition d'entropie. Théorème de Kruzkov (énoncé). Résolution du problème de Riemann pour un flux strictement convexe ou strictement concave.
