- Unité d'enseignement : Anneaux et coprs
Nombre de crédits de l'UE : 6
Code APOGEE : MAT3156L
Type d'enseignement
Nb heures *
Cours Magistraux (CM)
24 h
Travaux Dirigés (TD)
36 h
* Ces horaires sont donnés à titre indicatif.
Compétences attestées (transversales, spécifiques) :
Non rédigé
Programme de l'UE / Thématiques abordées :
Anneaux.
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Anneaux, sous-anneaux.
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Groupe des éléments inversibles. Corps.
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Idéaux. Idéaux premiers. Idéaux maximaux.
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Morphisme d’anneaux.
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Anneaux intègres. Corps des fractions d’un anneau intègre.
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Anneaux de polynômes en une ou plusieurs indéterminées.
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Anneaux quotients. Idéaux premiers et intégrité. Idéaux maximaux et corps. Théorème d’isomorphisme A/Ker f = Im f.
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Anneau produit, théorème chinois.
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Anneau Z/nZ : inversibles, lien intégralité-primalité, fonction indicatrice d’Euler.
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Éléments irréductibles ou premiers.
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Arithmétique des anneaux euclidiens. Tout idéal d’un anneau euclidien est principal. Algorithme d'Euclide étendu. Bezout. Gauss. Exemples : Z, K[X], Z[i].
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Irréductibilité dans Z[X] et Q[X]. Lemme de Gauss. Critère d’Eisenstein.
Corps.
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Corps. Sous-corps.
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Anneaux de polynômes en une indéterminée à coefficients dans un corps. Racines de polynômes dans K[X]. Relations coefficients/racines. Racines multiples et facteur commun via le polynôme dérivé.
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Éléments algébriques et transcendants. Polynôme minimal. Extensions algébriques. Degré. Extensions finies.
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Corps de rupture.
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Constructions à la règle et au compas. Théorème de Wantzel.
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Polynômes cyclotomiques.
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Corps finis : existence via les corps de rupture (existence d’un polynôme irréductible de tout degré). Unicité (admise).
Parcours / Spécialité / Filière / Option utilisant cette UE :
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