Université Lyon 1
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  • Unité d'enseignement : Mathématiques 4 (Mécanique, Physique, SPI)
Nombre de crédits de l'UE : 6
Code APOGEE : MAT2013L
    Responsabilité de l'UE :
DABROWSKI YOANN
 yoann.dabrowskiuniv-lyon1.fr
 pierre-damien.thizyuniv-lyon1.fr
THIZY PIERRE-DAMIEN
 pierre-damien.thizyuniv-lyon1.fr
    Type d'enseignement
Nb heures *
Cours Magistraux (CM)
24 h
Travaux Dirigés (TD)
36 h

* Ces horaires sont donnés à titre indicatif.

    Pré-requis :
Les contenus des cours de TMB, Mathématiques 2 et Mathématiques 3.
    Compétences attestées (transversales, spécifiques) :
Compétences spécifiques.

C2. Manipuler les principaux outils mathématiques utiles en physique :
- Notions de base sur  les transformations de Laplace et de Fourier.
- Transformée d'un produit de convolution.
- Exemples de résolution d’équations aux dérivées partielles (méthode de substitution, convolution, Fourier). - Reconnaître la convergence ou la divergence d'une intégrale (critère de Riemann).
- Calcul des coefficients de Fourier.  Recherche de transformées et d'originaux de fonctions par les transformations de Laplace et Fourier.
- Applications à la résolution d'équations différentielles.

C3. Identifier les techniques courantes dans les domaines de la mécanique, de la thermodynamique, de la physique des matériaux, de l'optique, de la physique microscopique.

C4. Aborder et résoudre par approximations successives un problème complexe.


Compétences transversales.

C14. Développer une argumentation avec esprit critique.

C15. Se servir aisément des différents registres d’expression écrite et orale de la langue française.




    Programme de l'UE / Thématiques abordées :

Les notions seront présentées dans un esprit pratique sans grand développement théorique.

1- Développements limités. Relations de comparaison. Développements asymptotiques (équivalents, négligeabilité, notation « o », « O » de Landau).

2- Intégrales généralisées (surtout absolument convergentes, critère de Riemann, convergence par intégration par partie: exemple de l'intégrale de Fresnel).

3- Suites et séries de fonctions. Convergences simple et uniforme. Remarques sur les problèmes de convergence, sur l’intégration et la dérivation des séries.

4- Séries de Fourier. Exemples des signaux « carré » et « dent de scie ». Analogie avec le développement suivant une base en algèbre linéaire. Formules de Bessel-Parseval et théorème de Dirichlet (sans preuve).

5- Notions d’équation aux dérivées partielles. Présentation de l’équation de la corde vibrante avec conditions initiales et conditions de bord périodiques. On donnera dans la suite des aperçus sur d’autres équations linéaires (Laplace, Poisson, équation de la chaleur, transport).

6- Théorème de dérivation des intégrales à paramètre avec condition de domination (sans preuve). Application de l'interversion dérivée/intégrale à des exemples de transformée de Fourier ou Laplace.

7- Transformée de Laplace. Transformées usuelles. Inversion de la transformée de Laplace pour les fractions rationnelles, application à la résolution d'équations différentielles ordinaires d'ordres 1 et 2 avec conditions initiales.

8- Convolution, exemples de régularisation par convolution. Application à une équation aux dérivées partielles.

9- Transformée de Fourier de fonctions L1 ou L2. Transformées usuelles. Inversion de Fourier. Formule de Plancherel. Inégalités d’incertitude. Application aux équations aux dérivées partielles.

Date de la dernière mise-à-jour : 02/09/2022
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