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Nombres réels : nombres rationnels et irrationnels, densité de Q dans R, partie entière, nombres décimaux, approximation d’un réel par un décimal, développement décimal d’un rationnel. La construction de R est hors programme.
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Dérivabilité, dérivabilité à gauche, à droite, interprétation géométrique, opérations. Dérivabilité implique continuité. Caractérisation de la dérivabilité en un point par les DL d’ordre 1. Calcul de valeurs approchées à l’aide d’un DL d’ordre 1, majoration de l’erreur.
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Extremum local et point critique.
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Egalité et inégalité des accroissements finis.
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Caractérisation des fonctions dérivables constantes, monotones, strictement monotones sur un intervalle.
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Suites récurrentes, ordre de convergence en liaison avec le théorème des accroissements finis. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2. Suites extraites.
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Fonctions de classe C^k. Opérations.
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Développements limités et Formule de Taylor-Young. On limitera la pratique aux petits ordres et aux calculs simples. Développements asymptotiques, interprétation/utilisation des DL à l'ordre 2, extrema, ordre de convergence, étude asymptotique des fonctions et des suites, etc.
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Convexité. Définition, propriété du graphe, caractérisation à l’aide des dérivées. Applications : inégalités de convexité et extrema.
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Formule de Taylor-Lagrange.
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Méthode de Newton pour la résolution de f(x)=0 pour une fonction f de R dans R. Ordre de convergence en liaison avec Taylor-Lagrange d'ordre 2.
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Intégrale de Riemann : définition succincte de l’intégrale de Riemann, preuves omises, l’étude détaillée de l’intégrale de Riemann et les preuves seront faites en Analyse 3. Théorème fondamental du calcul intégral (admis). Primitives. Intégration par parties, changement de variables. Primitives de fractions rationnelles. Formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre n pour les fonctions C^{n+1}.
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Équations différentielles linéaires du 1er ordre, Principe de linéarité. Méthode de variation de la constante. Problème de Cauchy bien posé.
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Équations différentielles linéaires du 2nd ordre à coefficients constants. On se limitera aux seconds membres simples.
