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  • Domaine : Licences du domaine SCIENCES, TECHNOLOGIES, SANTE
  • Diplôme : Licence
  • Mention : Mathématiques
  • Parcours : LAS Mathématiques générales et applications
  • Unité d'enseignement : Topologie des espaces métriques
Nombre de crédits de l'UE : 6
Code APOGEE : MAT3144L
UE Libre pour ce parcours
UE valable pour le semestre 1 de ce parcours
    Responsabilité de l'UE :
MELLERAY JULIEN
 julien.mellerayuniv-lyon1.fr
04.72.44.62.04
MELLERAY JULIEN
 julien.mellerayuniv-lyon1.fr
04.72.44.62.04
    Type d'enseignement
Nb heures *
Cours Magistraux (CM)
24 h
Travaux Dirigés (TD)
36 h
Travaux Pratiques (TP)
0 h
Durée de projet en autonomie (PRJ)
0 h
Durée du stage
0 h
Effectif Cours magistraux (CM)
210 étudiants
Effectif Travaux dirigés (TD)
35 étudiants
Effectif Travaux pratiques (TP)
18 étudiants

* Ces horaires sont donnés à titre indicatif.

    Compétences attestées (transversales, spécifiques) :

 

    Programme de l'UE / Thématiques abordées :

Quelques rappels sur R. 

I. Espaces métriques  

  • Distance, boules ; suites : convergence, limite, valeurs d'adhérence ; distance produit. 

  • Espaces vectoriels normés : définitions ; exemples : normes sur R^n (normes p), normes sur des espaces de suites, normes sur des espaces de fonctions. 

  • Topologie des espaces métriques : ouverts, topologie ; fermés ; intérieur, adhérence ; bases d'ouverts, espaces séparables : topologie induite. 

  • Applications continues : définition métrique, caractérisation topologique, caractérisation séquentielle ; limite d'une fonction en un point ; continuité uniforme, applications lipschitziennes (module de continuité) ; homéomorphismes ; suites d'applications : convergence simple, convergence uniforme ; continuité et espaces produits. 

  • Continuité des applications linéaires entre espaces vectoriels normés (normes subordonnées). 

II.  Espaces métriques compacts 

  • Propriété de Borel-Lebesgue (recouvrement par des ouverts) et propriété de Bolzano-Weierstrass.

  • Propriétés des parties compactes.

  • Pré-compacts. 

  • Les compacts de R.

  • Produit fini d'espaces métriques compacts.

  • Fonctions continues sur un compact (image d'un compact par une application continue, continuité uniforme).

  • Application aux espaces vectoriels normés de dimension finie (équivalence des normes, continuité des applications linéaires, théorème de Riesz). 

  • Produit dénombrable d'espaces métriques compacts. 

III. Espaces métriques connexes 

  • Définitions et propriétés.

  • Exemple fondamental : les connexes de R, théorème des valeurs intermédiaires.

  • Fonctions continues et connexité.

  • Composantes connexes ; structure des ouverts de R.

  • Connexité par arcs. 

IV. Espaces métriques complets 

  • Suites de Cauchy, espaces complets.

  • Exemple des espaces vectoriels normés de dimension finie.

  • Séries dans un espace vectoriel normé complet.

  • Théorème du point fixe pour les applications contractantes.

  • Théorème de prolongement des applications uniformément continues.

  • Exemples d'espaces complets, espaces de Banach : espaces de fonctions (continues bornées, linéaires continues), espaces de suites ; applications (Id+u inversible...).

  • Complément : complété d'un espace métrique.

  • Complément : théorème d'Ascoli.

    Liste des autres Parcours / Spécialité / Filière / Option utilisant cette UE :
Date de la dernière mise-à-jour : 01/09/2022
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