L'idée ici c'est de faire des rappels sur les propriétés qualitatives des EDP, avant de présenter les méthodes numériques.
- (5HCM+3HTD) EDP elliptiques : rappels des propriétés qualitatives des solutions. Méthodes numériques pour les EDP elliptiques 1D : différences finies. Principe et ordre d'une formule. Prise en compte de conditions aux limites. Monotonie, principe du maximum discret, stabilité, convergence. Problèmes multidimensionnels (splitting directionnel). Éléments finis : Formulation variationnelle - approximation de Galerkin - lemme de Céa - éléments finis de Lagrange et Hermite en 1D.
- (3HCM+2HTD) Équation de la chaleur : rappel des propriétés qualitatives des solutions. Approximation par la méthode des différences finies en 1D. Schémas d'Euler explicite et implicite, schémas de Crank Nicolson et theta-schéma. Ordre et consistance. Analyse de Fourier et stabilité L^2. Condition CFL. Convergence.
- (2HCM+2HTD) Équations de transport linéaire. Approximation par la méthode des différences finies. Schémas décentré amont, de Lax-Friedrichs et de Lax-Wendroff. Consistance, ordre, stabilité en norme L^p. Analyse de Fourier et stabilité L^2.
- (2HCM+2HTD) Lois de conservations scalaires non linéaires. Rappel des propriétés qualitatives des solutions. Méthodes des volumes finis en 1D : schémas conservatifs, théorème de Lax-Wendroff. Exemples (les schémas de Lax-Friedrichs et Lax-Wendroff sont conservatifs). Complément : schéma de Godunov. Stabilité du schéma de Godunov et CFL.
Toutes ces méthodes feront l’objet de TP d’application.
