L’objectif de ce cours est de fournir des outils pour étudier le comportement de solutions de certains modèles mathématiques. Il faudra pour cela identifier les équilibres des modèles, leur stabilité et les changements possibles quand un paramètre change de valeur (bifurcations).
Les applications peuvent être très variées (physique, chimie, astronomie…). Dans le cadre de ce cours, nous illustrerons la théorie par des exemples d’applications pris dans la biologie, l’écologie et même les sciences humaines.
Prérequis : étude des équations différentielles ordinaires linéaires (edo) (en dimension 1, 2, ou plus) et non linéaires. Résultats d’existence et d’unicité. Résolution des edo linéaires et de quelques edo non linéaires.
Contenu du cours :
1. Systèmes dynamiques décrits par des équations différentielles ordinaires
Étude qualitative : stabilité (Analyse spectrale, stabilité locale, fonctions de Lyapounov, stabilité globale), portrait de phase, attracteurs, bassins d'attraction, classification.
2. Bifurcations
Bifurcations à un paramètre : nœud-col, transcritique, fourche sur et sous critique, Hopf
Introduction aux équations différentielles à retard et à leurs bifurcations de Hopf (si l’on a assez de temps).
Simulation en TP des divers types de comportement dynamiques. Illustration des différentes bifurcations. Exemples tirés de l'écologie (dynamique des populations), de la physiologie (dynamique des cellules sanguines) et de la physique (si l’on a assez de temps).
