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Calculs algébriques : manipulation des sommes et des produits de familles finies de nombres réels, sommes et produits télescopiques, sommes géométriques, factorisation de a^n-b^n par a-b, factorielle et coefficients binomiaux, formule du binôme de Newton, sommes doubles et produit de deux sommes finies.
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Logique : connecteurs « et » et « ou », quantificateurs, implications, contraposition, équivalences, négation, types de preuves : disjonction de cas, contraposition, absurde, analyse-synthèse, récurrence. Principes de rédaction. Illustrer avec des exemples issus du lycée. Il s’agit de donner le vocabulaire et les notations. La manipulation se fera au fur et à mesure des UE de première année.
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Ensemble : appartenance, inclusion, parties, opérations : union, intersection, complémentaire, produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles, ensemble des parties d'un ensemble (recouvrement, partition). Il s’agit de donner le vocabulaire et les notations, la manipulation se fera au fur et à mesure des UE de première année. L’interprétation combinatoire de coefficient binomial “k parmi n” comme le nombre de k-parties d’un ensemble à n éléments. Triangle de Pascal.
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Applications : image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité, composition.
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Nombres complexes : (la construction de C est hors programme) forme algébrique (parties réelle et imaginaire), opérations, conjugaison, module, inégalité triangulaire, argument, exponentielle complexe, forme trigonométrique, formule d’Euler, formule de Moivre. Rappels et applications à la trigonométrie : linéarisation / polynomialisation. Racines nièmes. Extension au cas complexe des sommes géométriques, de la factorisation de a^n-b^n par a-b et de la formule du binôme de Newton.
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Interprétation géométrique des complexes : droites, cercles, affixe d’un point, d’un vecteur, interprétation du module, de l’argument, de la conjugaison.
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Équations polynomiales de degré 2 : équations à coefficients réels, équations à coefficients complexes.
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Nombres entiers et arithmétique : (Z/nZ hors programme) Divisibilité, diviseurs, multiples, division euclidienne, congruences, pgcd, ppcm, algorithme d’Euclide. Identité de Bézout, théorème de Gauss, équations ax + by = c. Nombres premiers, décomposition en facteurs premiers. Bases de la numération. Relations d'équivalence (la notion d'ensemble quotient est hors programme).
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Polynômes sur R ou C. La construction est hors programme. Somme, produit, degré, valuation, polynômes unitaires. Divisibilité, division euclidienne, pgcd, factorisation en produit de polynômes irréductibles. Fonctions polynomiales. Racines, dérivation, racines multiples, théorème de d’Alembert-Gauss (admis).
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Fractions rationnelles. Forme irréductible d’une fraction rationnelle. Fonction rationnelle. Degré, partie entière, zéros et pôles, multiplicités. Décomposition en éléments simples.
