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Calcul matriciel : opérations, inverse, opérations élémentaires. Calcul de l’inverse. Déterminant des matrices 2x2. Interprétation matricielle d’un système linéaire. Pivot de Gauss.
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Espaces vectoriels : définition d’un corps commutatif (on se limitera aux espaces vectoriels sur Q, R et C dans ce cours). Espaces vectoriels, sous-espaces vectoriels. Familles libres, génératrices, bases (on se limitera à des familles finies). Somme, somme directe, sous-espaces supplémentaires. Espaces vectoriels de dimension finie. Exemples d’espaces vectoriels : description de tous les sous-espaces vectoriels de R^2 et R^3, R^n, espaces de fonctions, de suites (suites récurrentes linéaires d’ordre deux), de matrices, K_n[X]. Théorème de la base incomplète.
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Applications linéaires : définition, matrice d’une application linéaire, noyau, image, caractérisation de l’injectivité. Image d’une famille libre/génératrice/base, rang, théorème du rang. Retour sur les matrices : rang/noyau d’une matrice, matrices équivalentes, toute matrice est équivalente à une matrice diag(1,...,1,0...0), transposition, rg(A) = rg(tA), trace, changement de base, matrices semblables. Endomorphismes, exemples : projections, symétries, rotations dans le plan, contre-exemple des translations.
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Applications en TD aux droites, cercles, plans, sphères et leurs intersections. Pivot de Gauss sur de petits systèmes en liaison avec la géométrie.
