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Les réels : inégalités, valeur absolue, inégalité triangulaire, intervalles, parties majorées, minorées, bornées, majorant, minorant, maximum, minimum. Sup et inf : il s’agit d’introduire ces concepts mais leur maîtrise n’est pas un attendu de cette UE.
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Fonctions de R dans R, graphe de fonction, fonction associée à un graphe (domaine, codomaine), opérations sur les graphes : translations et dilatations horizontales et verticales, réflexions par rapport aux axes, restriction, co-restriction, prolongement. Symétries : parité, périodicité. Fonctions majorées/minorées. Sens de variation, fonctions monotones.
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Composée de deux fonctions, compatibilité des domaine/image, domaine de la fonction composée. Fonction bijective : une fonction est bijective si son graphe coupe toute droite horizontale en exactement un point.
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Image directe, image réciproque, injectivité, surjectivité, bijectivité, bijection réciproque, opérations (somme, produit, composition). On mettra l’accent sur le lien entre les propriétés des fonctions et de leurs graphes.
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Limite d'une fonction en un point, continuité, dérivabilité (dérivée d'une combinaison linéaire, d'un produit, d'un quotient, d'une fonction composée), lien monotonie/signe de la dérivée, théorème des valeurs intermédiaires. On pourra dans un premier temps définir formellement la limite d'une fonction sans démontrer les propriétés relatives aux limites, à la continuité et à la dérivabilité.
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Fonctions usuelles : log, exp, x^alpha, cos, sin, tan, ch, sh, th + arcsin, arccos, arctan.
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Inéquations, en particuliers inéquations de degré 2.
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Suites réelles : définition, monotonie, suites minorées, majorées, bornées. Définition de la limite, convergence, opérations sur les limites, théorème d’encadrement, suites croissantes et majorées/décroissantes minorées (admis). Suites adjacentes. Suites arithmétiques, géométriques, arithmético-géométriques. Suite extraites et théorème de Bolzano-Weierstrass (admis, la maîtrise des suites extraites et du théorème de Bolzano-Weierstrass n’est pas attendue). Suites de Cauchy, critère de Cauchy.
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Limites de fonction. Limites à droite, limites à gauche, unicité de la limite, opérations sur les limites, caractérisation séquentielle de la limite, passage à la limite dans des inégalités, existence d’une limite par encadrements.
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Équivalents, petits o, grands O. Croissance comparée. Croissance comparée de base en l’infini (cas O(log(n)) < O(n^k) < O(k^n), f(n) + g(n) = O(f(n)) si g est négligeable devant f).
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Continuité en un point. Continuité à gauche, à droite. Caractérisation séquentielle de la continuité en un point. Opérations sur les fonctions continues en un point : combinaison linéaire, produit, quotient, composition.
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Continuité sur un intervalle. Théorème des valeurs intermédiaires. Algorithme de dichotomie. (Preuves facultatives en Info :) Image d’un intervalle par une fonction continue. Corollaire : cas d’une fonction continue strictement monotone. Théorème des bornes atteintes : toute fonction continue sur un segment est bornée et atteint ses bornes. Image d’un segment par une fonction continue. Une fonction continue sur un intervalle, à valeurs réelles et injectives, est strictement monotone. Toute fonction réelle strictement monotone, définie et continue sur un intervalle, admet une fonction réciproque de même monotonie, définie et continue sur un intervalle.
